円周率が無限に続くことを式から直感的に理解してみる


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はじめに

円周率が無限に続く数だということはよく言われていますが、それを少しでも理解している人はなかなかいないのではないのでしょうか。

厳密ではありませんが、なじみやすい直感的理解をしていきたいと思います。

ガウス=ルジャンドルのアルゴリズムから理解する

ガウス=ルジャンドルのアルゴリズムは、以前の記事で取り上げていました。

以下、Wikiより引用。

初期値の設定

$$a_0=1 \quad b_0=\frac {1}{\sqrt{2}} \quad t_0=\frac{1}{4} \quad p_0=1$$

反復式

$$a_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2}\\
b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\\
t_{n+1} = t_n - p_n(a_n - a_{n+1})^2\\
p_{n+1} = 2p_n$$

πの算出

円周率πは、a,b,tを用いて以下のように近似される。

$$\pi \approx \frac{(a+b)^2}{4t}$$

bに注目してみましょう。例えばn=kとしたとき、n=k+1になるときに、bはa×bのルートとなります。n=0のとき、bは 1/√2 、aは1です。そのような初期条件のもと、上記の反復式を無限に繰り返していっても、bは有理数になることはなさそうです(直観的に)。つまり、無理数だと思われるわけです。
また、πを実際に求める式にはbが登場します。つまり、πを求める式の分子に無理数があり、分母 4t も同様に見ていくと無理数のように思われます。よって、無理数を無理数で割ったような感じとなります。また、その2つの無理数も関連が薄いため、割り切れることはないでしょう。つまり、直観的には、円周率は無理数だと考えられるというわけです。(ちなみに、高校数学の先生に円周率の無理性について質問すると嫌がられるかも…)

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最後に

とても雑な理解ですが、雰囲気さえわかればいい話だと思っています。というのも、有名な数学者でさえこの問題には苦労したらしいので。Wikiに証明が載っていますので、興味がある方はどうぞご覧ください。